Bessel functions and related functions -------------------------------------- The functions in this section arise as solutions to various differential equations in physics, typically describing wavelike oscillatory behavior or a combination of oscillation and exponential decay or growth. Mathematically, they are special cases of the confluent hypergeometric functions `\,_0F_1`, `\,_1F_1` and `\,_1F_2` (see :doc:`hypergeometric`). Bessel functions ................................................... :func:`besselj` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.besselj(n,x,derivative=0) .. autofunction:: mpmath.j0(x) .. autofunction:: mpmath.j1(x) :func:`bessely` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.bessely(n,x,derivative=0) :func:`besseli` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.besseli(n,x,derivative=0) :func:`besselk` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.besselk(n,x) Bessel function zeros ............................... :func:`besseljzero` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.besseljzero(v,m,derivative=0) :func:`besselyzero` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.besselyzero(v,m,derivative=0) Hankel functions ................ :func:`hankel1` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.hankel1(n,x) :func:`hankel2` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.hankel2(n,x) Kelvin functions ................ :func:`ber` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.ber :func:`bei` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.bei :func:`ker` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.ker :func:`kei` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.kei Struve functions ................................................... :func:`struveh` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.struveh :func:`struvel` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.struvel Anger-Weber functions ................................................... :func:`angerj` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.angerj :func:`webere` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.webere Lommel functions ................................................... :func:`lommels1` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.lommels1 :func:`lommels2` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.lommels2 Airy and Scorer functions ............................................... :func:`airyai` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.airyai(z, derivative=0, **kwargs) :func:`airybi` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.airybi(z, derivative=0, **kwargs) :func:`airyaizero` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.airyaizero(k, derivative=0) :func:`airybizero` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.airybizero(k, derivative=0, complex=0) :func:`scorergi` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.scorergi(z, **kwargs) :func:`scorerhi` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.scorerhi(z, **kwargs) Coulomb wave functions ............................................... :func:`coulombf` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.coulombf(l,eta,z) :func:`coulombg` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.coulombg(l,eta,z) :func:`coulombc` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.coulombc(l,eta) Confluent U and Whittaker functions ................................... :func:`hyperu` ^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.hyperu(a, b, z) :func:`whitm` ^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.whitm(k,m,z) :func:`whitw` ^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.whitw(k,m,z) Parabolic cylinder functions ................................. :func:`pcfd` ^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.pcfd(n,z,**kwargs) :func:`pcfu` ^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.pcfu(a,z,**kwargs) :func:`pcfv` ^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.pcfv(a,z,**kwargs) :func:`pcfw` ^^^^^^^^^^^^^^ .. autofunction:: mpmath.pcfw(a,z,**kwargs)